下列哪些是单调变换？（1）u = 2v - 13 ；（2）u = -1/ v2 ；（3）u = 1/ v2 ；（4）u = ln v ；

（5） u = -e-v  ；（6） u = v2 ；（7） u = v2 （其中v > 0 ）；（8） u = v2 （其中v < 0 ）。

（1） 是（正的）单调变换。因为复合函数u 是函数v 的单调递增函数。判断依据：

du / dv = 2 > 0 。以下题目的原因请类推。

（2） v > 0 时是（正的）单调变换，v < 0 时是（负的）单调变换（即变换后得到的函数u 是递减函数），由于我们不考虑负单调变换的情形，因此自此以后凡是说到单调变换就是指正单调变换。以下各题不再一一说明。（3） v < 0 时是单调变换，v > 0 时不是。（4） 是单调变换（顺便指出，此题暗含着v > 0 的假设，否则u = ln v 无定义）。

（5） 是单调变换。

（6） v ³ 0 时是单调变换，v £ 0 时不是。

（7）和（8）请见（6）。

在消费者行为理论研究中会频繁使用无．差．异．曲．线．在．某．点．处．的．切．线．的．斜．率．，这样的斜率如此有用以至于它有个专门的名字：边．际．替．代．率．（Marginal Rate of Substitution, MRS）。如此命名的原因是，MRS 衡量某消费者恰好愿意以一种商品替代另外一种商品的比率。

我们说过，MRS 是一种比率，在该比率下消费者恰好处于用商品1 替代商品2 的边际上。换句话说，消费者恰好愿意“支付”一些商品 1 来购买一些商品2。因此，有时人们说无差异曲线的斜率衡量消费者的边．际．支．付．意．愿．（marginal willingness to pay）。

偏好的凸性假设使MRS 展现出另外一种行为

。对于严格凸的无差异曲线来说，随着x1逐渐增加，无差异曲线的斜率的绝对值即MRS12 会逐渐减少。因此，无差异曲线展现出边．际．替．代．率．递．减．（diminishingmarginal rate of substitution）的性质。