杭  州  师  范  大  学

2019 年招收攻读硕士研究生考试题

                          考试科目代码：     838     

                          考试科目名称：   高等代数 

说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。

每题15分，共150分

1. 求下列行列式的值：.

2. 设，其中Q为有理数域.

（1）证明：对于矩阵加法和数乘构成有理数域上的向量空间；

（2）求的一组基；

（3）求中的向量在（2）中所求的基下的坐标.

3. 已知矩阵，计算.

4. 设是实矩阵，是m维列向量. 证明：方程组恒有解.

5. 设，其中为互不相同的整数，试判断：在有理数域上是否可约，并说明理由.

6. 设为数域P上n阶方阵，在数域P上有多项式.设分别是齐次线性方程组的解空间.假设，证明： .

7. 证明：设实二次型的矩阵为，若，则必存在一组数使得.

8. 设有实对称矩阵，求正交矩阵使得为对角矩阵.

9. 设整系数的线性方程组，证明：该方程组对任意整数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于.

10. 设欧氏空间中有向量

.证明：如果对于所有都有,那么.