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     2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题

                考试科目代码：     817      

                考试科目名称：   高等代数   

说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。

每题15分，共150分

1. 将多项式分别在实数域与复数域上分解成不可约多项式的乘积。

2. 设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值。

3. 求下列行列式的值：。

4. 讨论：当取何值时，二次型是正定二次型。

5. 已知，，，都是线性方程组

      ①

的解向量。

（1）求的一个极大无关组。

（2）判断（1）中所求得的极大无关组是否是方程组①的一个基础解系；若不是，将其扩充成方程组①的一个基础解系。

6. 设A是n阶方阵，证明：（其中表示A的伴随矩阵）。

7. 设是n个实数，A是n阶方阵。

（1）若是A的特征根，试证是属于的特征向量；

（2）若已知A有n个两两互异的特征根，求可逆阵P，使得是对角阵。

8. 设为有限维欧氏空间V上的正交变换。令

。

证明：（1）和都是V的线性子空间；（2）。

9. 设为实数域上次数小于4的多项式构成的向量空间，定义上二元运算如下

，

证明：

（1）上述二元运算是上的内积；

（2）求在上述内积下，欧氏空间的一组规范正交基。

10. 设V是全体2阶实方阵构成的向量空间，定义V到V的映射：

，其中。

（1）证明：是V上的线性变换；

（2）当时，分别求的核和像的基和维数。